9 Das Verhältnis Nachkommen/Eltern-Läsionen

Im Kapitel 7.4 definierten wir R_c als Multiplikationsfaktor pro Zeiteinheit und i war die Zeitdauer, während der eine Läsion sporulierte. R_c*i ist demzufolge die gesamte Anzahl Nachkommensläsionen, die von einer Läsion während ihrer Sporulationszeit ausgehen.

Beispiel (nach VANDERPLANK 1982): Weizenpflanzen der Sorte Knox wurden künstlich mit Schwarzrost (Puccinia graminis tritici) infiziert. Die ersten Symptome waren 9 Tage nach Infektion sichtbar, nach weiteren 1-2 Tagen platzten die ersten Pusteln und Uredosporen wurden produziert. Die Anzahl Pusteln blieb konstant für die nächsten 13 Tage (Fig. 9.1) und wurde als 1.2% Befall bewertet. Nach dieser Zeit sah man neue Pusteln entstehen. Ihr Ursprung kam von den Uredosporen, die 10 Tage nach der Inokulation entstanden waren. Die Anzahl sekundärer Pusteln wurde 8 Tage nach ihrem ersten Auftreten ausgewertet, also eindeutig vor dem Entstehen einer dritten Generation. Der Befall betrug 0.242. Das Verhältnis Nachkommen/Eltern war demzufolge 0.242/0.012 = 20. Dies ist sicher ein zu kleiner Wert, da die Ausgangspusteln länger als 8 Tage sporulierten. 

ASAI (1960) fand in ähnlichen Versuchen eine Zunahme innerhalb von 6 Tagen (einer Generation) von 0.24 Pusteln pro Halm auf 13.65 und berechnete einen Wert von 57. Auch hier ist dies ein Minimalwert. 

Um R_c*i als Nachkommen/Eltern-Verhältnis für Berechnungen zu verwenden, nehmen wir als Zeiteinheit i des betreffenden Pathogens. Wir können somit Epidemien mit gleichen Eigenschaften aber von ganz verschiedenen Pathogenen vergleichen. Den Wert R_c nennen wir "alpha" (nach VANDERPLANK). 

Die Formel XIII wird neu geschrieben: 

dX_t/dt = alpha * (X_(t-p) - X_(t-1-p)) * (1 - X_t)          XVI

Damit bleiben noch zwei Variablen, welche eine Bedeutung für die Zunahmegeschwindigkeit der Epidemie haben, alpha und p (in i Einheiten).

Tabelle 8.1 und Figuren 8.1 bis 8.4 zeigen die aus einer numerischen Integration der Formel XIII berechneten Werte und Kurven.

Eine Epidemie, welche von einem sehr kleinen Anfangsinokulum ausgeht, wird sich bis zu einem bestimmten Maximum (die Asymptote L nach der unten aufgeführten Formel XVII) entwickeln und dort ihren Plafond erreichen (VANDERPLANK 1982).

L = 1-e^{(- alpha*L)}          XVII

Tabelle 9.2 zeigt die aus der Formel XVII berechneten Werte, die gut mit den vorhergehenden Berechnungen übereinstimmen (Tab. 9.1 und Figuren). Aus den Figuren wird ersichtlich, dass das Maximum einer Epidemie nicht von der Latenzzeit abhängt sondern nur von R_c*i (= alpha). Bei gleichbleibendem alpha bewirkt p die Zeitdauer, in welcher ein bestimmter Befall erreicht wird. Die Ursache, warum nicht 100% Befall erreicht wird, ist aus der Tabelle 8.1 ersichtlich. Das infektiöse Gewebe nimmt absolut gesehen am Anfang der Epidemie zu, um bei ca. 50% des Maximalbefalls bis zu Null abzunehmen. Anteilmässig am gesamten kranken Gewebe ist es am Anfang am höchsten, um dann stetig abzunehmen.